Αριθμητικές Μέθοδοι

Γενικά

• Κωδικός Μαθήματος: 1641
• Εξάμηνο: 6ο
• Τύπος Μαθήματος: Εξειδίκευσης (ΕΞ)
• Είδος Μαθήματος: Υποχρεωτικό Επιλογής (ΥΠ-ΕΠ)
• Γνωστική Περιοχή: Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι (ΠΑ)
• Διδασκαλία Θεωρίας: 4 ώρες/εβδομάδα
• Πιστωτικές μονάδες ECTS: 6
• Ηλεκτρονική σελίδα μαθήματος: https://aetos.it.teithe.gr/~gouliana/aa_theory.html
• Γλώσσα διδασκαλίας και Εξετάσεων: Ελληνικά, Aγγλικά
• Το μάθημα προσφέρεται σε φοιτητές Erasmus
• Προτεινόμενα προαπαιτούμενα μαθήματα: (1101) Μαθηματικά Ι, (1102) Δομημένος Προγραμματισμός
• Συντονιστής: Τζέκης Παναγιώτης
• Διδάσκοντες: Τζέκης Παναγιώτης

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Σκοπός του μαθήματος είναι οι φοιτητές να πάρουν τις βασικές γνώσεις της Αριθμητικής Ανάλυσης. Βασικοί στόχοι του μαθήματος είναι: α) Η εισαγωγή στην θεωρία σφαλμάτων παρουσιάζοντας τους ορισμούς των σφαλμάτων στρoγγύλευσης και αποκοπής, τα σφάλματα της μετατροπής πραγματικών δεκαδικών αριθμών σε αριθμούς κινητής υποδιαστολής (floating point) στον Η/Υ και την μετάδοση αυτών των σφαλμάτων στις πράξεις μεταξύ αριθμών κινητής υποδιαστολής. β) Ο προσεγγιστικός υπολογισμός μαθηματικών σειρών και η προσομοίωση των μαθηματικών συναρτήσεων που υπάρχουν στις μαθηματικές βιβλιοθήκες των γλωσσών προγραμματισμού. γ) Η παρουσίαση και μελέτη προσεγγιστικών μεθόδων εύρεσης των ριζών μη γραμμικών εξισώσεων και πολυωνύμων και η δημιουργία των αντίστοιχων αλγορίθμων για την υλοποίησή τους σε Η/Υ. δ)Η παρουσίαση και μελέτη άμεσων και προσεγγιστικών μεθόδων για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. ε) Η μελέτη και παρουσίαση μεθόδων εύρεσης πολυωνύμων παρεμβολής από ένα πίνακα τιμών κάποιας άγνωστης συνάρτησης. ζ) Η παρουσίαση προσεγγιστικών μεθόδων εύρεσης ορισμένων ολοκληρωμάτων και η ανάπτυξη των αντίστοιχων αλγορίθμων για την υλοποίηση ενδεικτικών παραδειγμάτων των παραπάνω μεθόδων και ο προγραμματισμός τους σε Η/Υ. Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής / τρια θα είναι σε θέση :

• Να κατανοεί τον τρόπο που επηρεάζουν τα σφάλματα την αποθήκευση, τους υπολογισμούς και τις πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών στον Η/Υ.
• Να εφαρμόζει τα αναπτύγματα Mac Laurin για την προσομοίωση των μαθηματικών συναρτήσεων που υπάρχουν στις μαθηματικές βιβλιοθήκες των γλωσσών προγραμματισμού και κατανοεί τα σφάλματα αποκοπής που προκύπτουν.
• Να εφαρμόζει τις μεθόδους εύρεσης ριζών εξισώσεων και πολυωνύμων και διακρίνει τα πλεονεκτήματα της κάθε μεθόδου ως προς την ταχύτητα και προσέγγιση των λύσεων.
• Να εφαρμόζει τις μεθόδους επίλυσης γραμμικών συστημάτων και διακρίνει τα πλεονεκτήματα της κάθε μεθόδου ως προς την ταχύτητα και το υπολογιστικό κόστος των πράξεων που απαιτούνται για την προσέγγιση των λύσεων.
• Να εφαρμόζει τις μεθόδους παρεμβολής και να εκτιμά την μετάδοση σφαλμάτων στους πίνακες διαφορών.
• Να εφαρμόζει τις μεθόδους Αριθμητικής ολοκλήρωσης και να διακρίνει τα πλεονεκτήματα της κάθε μεθόδου ως προς την ταχύτητα και την προσέγγιση των λύσεων.

Περιεχόμενο Μαθήματος

• Θεωρία Σφαλμάτων : Σφάλματα, Αριθμητική κινητής υποδιαστολής, Μετάδοση σφαλμάτων.
• Υπολογισμός Σειρών Μαθηματικών Συναρτήσεων : Υπολογισμός Σειρών, Σφάλμα αποκοπής, διόρθωση.
• Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων : Απομόνωση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων, Υπολογισμός τιμής, παραγώγων πολυωνύμου ( Σχήμα Horner ), Μέθοδοι επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων ( Σύγκλιση, ταχύτητα σύγκλισης ), Μέθοδος Διχοτόμησης, Εσφαλμένης θέσης, Διαδοχικών προσεγγίσεων, Newton-Raphson, Χορδής.
• Επίλυση Συστημάτων Γραμμικών Εξισώσεων : Άμεσες μέθοδοι (Επίλυση Διαγωνίου, Άνω-Κάτω Τριγωνικού Συστήματος, Απαλοιφή Gauss), Επαναληπτικές Μέθοδοι ( Μέθοδος Gauss-Seidel, Jacobi ).
• Ανιούσες Διαφορές : Προς τα εμπρός, προς τα πίσω, κεντρικές διαφορές, Μετάδοση σφαλμάτων, Τελεστές διαφορών.
• Γραμμική Παρεμβολή : Τύποι παρεμβολής Newton-Gregory, Τύποι παρεμβολής Lagrange, Διόρθωση στους τύπους παρεμβολής.
• Αριθμητική Ολοκλήρωση : Μέθοδος των τραπεζίων, Μέθοδος Newton-Cotes, Μέθοδος Simpson, Μέθοδος Gauss

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης

• Πρόσωπο με πρόσωπο θεωρητική διδασκαλία (παράδοση, συζήτηση, επίλυση προβλημάτων)

Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών

• Χρήση της πλατφόρμας moodle

Οργάνωση Διδασκαλίας

Αξιολόγηση φοιτητών

Προαιρετική Εξέταση Προόδου
Γραπτή Εξέταση
Προαιρετικές Ασκήσεις

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Συγγράμματα μέσω του συστήματος "Εύδοξος"

1. "Αριθμητική ανάλυση", Ζήτη Πελαγία & Σια Ι.Κ.Ε., 1η έκδ., 2008, ISBN: 978-960-456-084-4, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 10987
2. "Αριθμητικές Μέθοδοι για Μηχανικούς", ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε., 7η Έκδοση Βελτιωμένη, 2018, ISBN: 978-960-418-763-8, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 77106818
3. "Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση", ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε., 2η Έκδοση, 2015, ISBN: 978-960-418-572-6, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 50657724

Συμπληρωματική ελληνόγλωσση βιβλιογραφία

1. Σημειώσεις για το Θεωρητικό μέρος του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών – Θεωρία, Παραδείγματα και Άλυτες Ασκήσεις». Γουλιάνας Κωνσταντίνος, Τμήμα Πληροφορικής, ΑΤΕΙ-Θ, 2011.
2. Σημειώσεις για το Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος «Εργαστηριακές Ασκήσεις Αριθμητικής Ανάλυσης στη Γλώσσα Προγραμματισμού C». Γουλιάνας Κωνσταντίνος, Τμήμα Πληροφορικής, ΑΤΕΙ-Θ, 2007.
3. Κυτάγιας Δημήτρης, Βρυζίδης Λάζαρος, “Αριθμητική Ανάλυση/Αλγοριθμική Προσέγγιση”: Εκδόσεις Ίων, 1991.
4. Χατζηδήμος Απόστολος, “Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση”: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Ιωαννίνων, 1977.
5. Χατζηδήμος Απόστολος, “Αριθμητική Ανάλυση Ι και ΙΙ”: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Ιωαννίνων, 1979.

Συμπληρωματική ξενόγλωσση βιβλιογραφία

1. (English) Stoer, Josef, Bulirsch, R., Introduction to Numerical Analysis, Springer-Verlag New York, 3, 2002, 978-0-387-21738-3