Αριθμητικές Μέθοδοι
Γενικά
- Κωδικός Μαθήματος: 1641
- Εξάμηνο: 6ο
- Τύπος Μαθήματος: Εξειδίκευσης (ΕΞ)
- Είδος Μαθήματος: Υποχρεωτικό Επιλογής (ΥΠ-ΕΠ)
- Γνωστική Περιοχή: Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι (ΠΑ)
- Διδασκαλία Θεωρίας: 4 ώρες/εβδομάδα
- Πιστωτικές μονάδες ECTS: 6
- Ηλεκτρονική σελίδα μαθήματος: https://aetos.it.teithe.gr/~gouliana/aa_theory.html
- Γλώσσα διδασκαλίας και Εξετάσεων: Ελληνικά, Aγγλικά
- Το μάθημα προσφέρεται σε φοιτητές Erasmus
- Προτεινόμενα προαπαιτούμενα μαθήματα: (1101) Μαθηματικά Ι, (1102) Δομημένος Προγραμματισμός
- Συντονιστής: Τζέκης Παναγιώτης
- Διδάσκοντες: Τζέκης Παναγιώτης
Μαθησιακά Αποτελέσματα
Σκοπός του μαθήματος είναι οι φοιτητές να πάρουν τις βασικές γνώσεις της Αριθμητικής Ανάλυσης. Βασικοί στόχοι του μαθήματος είναι: α) Η εισαγωγή στην θεωρία σφαλμάτων παρουσιάζοντας τους ορισμούς των σφαλμάτων στρoγγύλευσης και αποκοπής, τα σφάλματα της μετατροπής πραγματικών δεκαδικών αριθμών σε αριθμούς κινητής υποδιαστολής (floating point) στον Η/Υ και την μετάδοση αυτών των σφαλμάτων στις πράξεις μεταξύ αριθμών κινητής υποδιαστολής. β) Ο προσεγγιστικός υπολογισμός μαθηματικών σειρών και η προσομοίωση των μαθηματικών συναρτήσεων που υπάρχουν στις μαθηματικές βιβλιοθήκες των γλωσσών προγραμματισμού. γ) Η παρουσίαση και μελέτη προσεγγιστικών μεθόδων εύρεσης των ριζών μη γραμμικών εξισώσεων και πολυωνύμων και η δημιουργία των αντίστοιχων αλγορίθμων για την υλοποίησή τους σε Η/Υ. δ)Η παρουσίαση και μελέτη άμεσων και προσεγγιστικών μεθόδων για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. ε) Η μελέτη και παρουσίαση μεθόδων εύρεσης πολυωνύμων παρεμβολής από ένα πίνακα τιμών κάποιας άγνωστης συνάρτησης. ζ) Η παρουσίαση προσεγγιστικών μεθόδων εύρεσης ορισμένων ολοκληρωμάτων και η ανάπτυξη των αντίστοιχων αλγορίθμων για την υλοποίηση ενδεικτικών παραδειγμάτων των παραπάνω μεθόδων και ο προγραμματισμός τους σε Η/Υ. Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής / τρια θα είναι σε θέση :
- Να κατανοεί τον τρόπο που επηρεάζουν τα σφάλματα την αποθήκευση, τους υπολογισμούς και τις πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών στον Η/Υ.
- Να εφαρμόζει τα αναπτύγματα Mac Laurin για την προσομοίωση των μαθηματικών συναρτήσεων που υπάρχουν στις μαθηματικές βιβλιοθήκες των γλωσσών προγραμματισμού και κατανοεί τα σφάλματα αποκοπής που προκύπτουν.
- Να εφαρμόζει τις μεθόδους εύρεσης ριζών εξισώσεων και πολυωνύμων και διακρίνει τα πλεονεκτήματα της κάθε μεθόδου ως προς την ταχύτητα και προσέγγιση των λύσεων.
- Να εφαρμόζει τις μεθόδους επίλυσης γραμμικών συστημάτων και διακρίνει τα πλεονεκτήματα της κάθε μεθόδου ως προς την ταχύτητα και το υπολογιστικό κόστος των πράξεων που απαιτούνται για την προσέγγιση των λύσεων.
- Να εφαρμόζει τις μεθόδους παρεμβολής και να εκτιμά την μετάδοση σφαλμάτων στους πίνακες διαφορών.
- Να εφαρμόζει τις μεθόδους Αριθμητικής ολοκλήρωσης και να διακρίνει τα πλεονεκτήματα της κάθε μεθόδου ως προς την ταχύτητα και την προσέγγιση των λύσεων.
Περιεχόμενο Μαθήματος
• Θεωρία Σφαλμάτων : Σφάλματα, Αριθμητική κινητής υποδιαστολής, Μετάδοση σφαλμάτων.
• Υπολογισμός Σειρών Μαθηματικών Συναρτήσεων : Υπολογισμός Σειρών, Σφάλμα αποκοπής, διόρθωση.
• Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων : Απομόνωση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων, Υπολογισμός τιμής, παραγώγων πολυωνύμου ( Σχήμα Horner ), Μέθοδοι επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων ( Σύγκλιση, ταχύτητα σύγκλισης ), Μέθοδος Διχοτόμησης, Εσφαλμένης θέσης, Διαδοχικών προσεγγίσεων, Newton-Raphson, Χορδής.
• Επίλυση Συστημάτων Γραμμικών Εξισώσεων : Άμεσες μέθοδοι (Επίλυση Διαγωνίου, Άνω-Κάτω Τριγωνικού Συστήματος, Απαλοιφή Gauss), Επαναληπτικές Μέθοδοι ( Μέθοδος Gauss-Seidel, Jacobi ).
• Ανιούσες Διαφορές : Προς τα εμπρός, προς τα πίσω, κεντρικές διαφορές, Μετάδοση σφαλμάτων, Τελεστές διαφορών.
• Γραμμική Παρεμβολή : Τύποι παρεμβολής Newton-Gregory, Τύποι παρεμβολής Lagrange, Διόρθωση στους τύπους παρεμβολής.
• Αριθμητική Ολοκλήρωση : Μέθοδος των τραπεζίων, Μέθοδος Newton-Cotes, Μέθοδος Simpson, Μέθοδος Gauss
Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
Τρόπος Παράδοσης
- Πρόσωπο με πρόσωπο θεωρητική διδασκαλία (παράδοση, συζήτηση, επίλυση προβλημάτων)
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
- Χρήση της πλατφόρμας moodle
Οργάνωση Διδασκαλίας
Δραστηριότητα | Φόρτος εργασίας εξαμήνου |
Διαλέξεις | 52 |
Συγγραφή και παρουσίαση υποχρεωτικής εργασίας | |
Ατομική Μελέτη και ανάλυση βιβλιογραφίας | 128 |
Σύνολο | 180 |
Αξιολόγηση φοιτητών
Προαιρετική Εξέταση Προόδου
Γραπτή Εξέταση
Προαιρετικές Ασκήσεις
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
Συγγράμματα μέσω του συστήματος "Εύδοξος"
- "Αριθμητική ανάλυση", Ζήτη Πελαγία & Σια Ι.Κ.Ε., 1η έκδ., 2008, ISBN: 978-960-456-084-4, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 10987
- "Αριθμητικές Μέθοδοι για Μηχανικούς", ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε., 7η Έκδοση Βελτιωμένη, 2018, ISBN: 978-960-418-763-8, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 77106818
- "Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση", ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε., 2η Έκδοση, 2015, ISBN: 978-960-418-572-6, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 50657724
Συμπληρωματική ελληνόγλωσση βιβλιογραφία
- Σημειώσεις για το Θεωρητικό μέρος του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών – Θεωρία, Παραδείγματα και Άλυτες Ασκήσεις». Γουλιάνας Κωνσταντίνος, Τμήμα Πληροφορικής, ΑΤΕΙ-Θ, 2011.
- Σημειώσεις για το Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος «Εργαστηριακές Ασκήσεις Αριθμητικής Ανάλυσης στη Γλώσσα Προγραμματισμού C». Γουλιάνας Κωνσταντίνος, Τμήμα Πληροφορικής, ΑΤΕΙ-Θ, 2007.
- Κυτάγιας Δημήτρης, Βρυζίδης Λάζαρος, “Αριθμητική Ανάλυση/Αλγοριθμική Προσέγγιση”: Εκδόσεις Ίων, 1991.
- Χατζηδήμος Απόστολος, “Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση”: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Ιωαννίνων, 1977.
- Χατζηδήμος Απόστολος, “Αριθμητική Ανάλυση Ι και ΙΙ”: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Ιωαννίνων, 1979.
Συμπληρωματική ξενόγλωσση βιβλιογραφία
- (English) Stoer, Josef, Bulirsch, R., Introduction to Numerical Analysis, Springer-Verlag New York, 3, 2002, 978-0-387-21738-3